Ingegneria dell’Automazione Industriale (2020/21)
14.09.2020, 13.30 – 14.30. Insiemi. Operazioni tra insiemi.
15.09.2020, 09.30 – 12.30. Prodotto cartesiano. Corrispondenze. Applicazioni: iniettiva, suriettiva e biiettiva. Composizioni di applicazioni. Applicazione inversa. Relazioni su un insieme: relazioni d’ordine. Operazioni su un insieme. Strutture algebriche: gruppi, anelli.
17.09.2020, 14.30 – 15.30. Strutture algebriche: campi. Definizione di spazio vettoriale ed esempi.
21.09.2020, 13.30 – 14.30. Sottospazi vettoriali, criterio del sottospazio ed esempi. Combinazioni lineari.
22.09.2020, 08.30 – 11.30. Vettori linearmente dipendenti, indipendenti, ed esempi. Sistemi di vettori liberi, legati, ed esempi. Proprietà dei sistemi liberi e legati. Chiusura lineare L(A) di un sistema A di vettori, ed esempi. L(A) è un sottospazio. L(A) è il più piccolo sottospazio contenente A: lo spazio generato da A. Spazi finitamente generati ed esempi classici. Lo spazio dei polinomi come esempio di spazio privo di una famiglia finita di generatori.
24.09.2020, 14.30 – 16.30. Base di uno spazio vettoriale finitamente generato (F.G.). Ogni spazio vettoriale F.G. possiede una base. Basi naturali (canoniche o standard) di K^n e K^{m,n}. Caratterizzazione delle basi “ordinate”. Componenti rispetto ad una base ordinata. Componenti rispetto alle basi naturali di K^n e K^{m,n}.
28.09.2020, 13.30 – 14.30. (Enunciato del) Teorema dello scambio (o di Steinitz). Conseguenze del teorema dello scambio: Teorema del completamento a base. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale V finitamente generato (dim V). Interpretazione di dim V come numero minimo di generatori o numero massimo di vettori L.I. Teorema del completamento della base.
29.09.2020, 09.30 – 11.30. Dimostrazione del Teorema dello scambio. Dimostrazioni dei seguenti risultati: a) Se dimV=n ed G è una famiglia di generatori di V costituita da n vettori, allora G è una base; b) Se dimV=n ed L è una famiglia libera di n vettori di V, allora L è una base. Esercizio sul completamento di una famiglia libera per formare una base. Struttura dei sottospazi di uno spazio vettoriale finitamente generato.
01.10.2020, 14.30 – 15.30. Intersezione e somma di sottospazi. Interpretazione della somma di sottospazi come sottospazio minimo contenente l’unione. Somma diretta e sua caratterizzazione. Formula di Grassmann.
05.10.2020, 13.30 – 14.30. Definizione di complemento diretto e metodo per determinarne uno (con esempio). Riepilogo dei concetti di minore e rango di una matrice.
06.10.2020, 08.30 – 11.30. Caratterizzazione delle famiglie libere col concetto di rango ed esempi. Proprietà del rango. Spazio delle righe e delle colonne di una matrice A. Teorema di Kronecker*. Interpretazione del concetto di rango. Relazione tra rango, determinante e invertibilità di una matrice n x n. Teorema degli orlati*. Esercizio riepilogativo. Definizione di sistema lineare (SL). Scritture equivalenti. Matrici associate ad un SL. Definizione di compatibilità di un SL. Teorema di Rouché-Capelli*. Teorema di Cramer. I metodo per risolvere un sistema lineare generale. Relazione tra l’insieme delle soluzioni di AX=B e lo spazio delle soluzioni di AX=0.
08.10.2020, 14.30 – 15.30. Riduzione a scala per 1) il calcolo del rango di una matrice, 2) per risolvere un sistema lineare.
12.10.2020, 13.30 – 14.30. Numeri Complessi. Teorema fondamentale dell’Algebra.
13.10.2020, 09.30 – 11.30. Cambiamenti di base. Esercizi. Diagonalizzabilità di una matrice quadrata. Esercizi.
15.10.2020, 14.30 – 15.30. Dimostrazione dei due teoremi di diagonalizzabilità. Esercizi.
19.10.2020, 13.30 – 14.30. Forme bilineari e prodotti scalari. Relazione di ortogonalità tra vettori. Ortogonale di un insieme e sue proprietà. Prodotti scalari definiti positivi e spazi euclidei. Proiezione e coefficiente di Fourier.
20.10.2020, 09.30 – 11.30. Teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, conseguenze ed esempi. Complemento ortogonale e sue proprietà. Applicazione allo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Norma di un vettore e proprietà. Basi ortonormali. Definizione e relazione tra matrici associate ad una stessa forma bilineare.
22.10.2020, 14.30 – 15.30. Matrici ortogonali e matrici del cambiamento di base ortonormale. Proprietà delle matrici ortogonali. Matrici ortodiagonalizzabili e loro caratterizzazione (teorema della base spettrale). Autovettori di una relativi ad autovalori distinti di una matrice reale simmetrica sono tra loro ortogonali.
26.10.2020, 13.30 – 14.30. Spazi affini: definizioni e proprietà. Sottospazi lineari e loro proprietà.
27.10.2020, 09.30 – 11.30. Punti, rette e piani come sottospazi lineari. Parallelismo di sottospazi lineari. Proprietà degli spazi affini analoghe a quelle della geometria classica. Mutua posizione di rette e piani. Rette sghembe. Riferimento affine, coordinate di un punto e componenti del vettore PQ. Equazioni parametriche e cartesiane di rette, piani e iperpiani.
29.10.2020, 14.30 – 15.30. Esercizi sugli spazi affini.
Settimana 02-06.11.2020.
Lezione 36 (asincrona). In A_2(K): mutua posizione di due rette, condizione di parallelismo, fascio proprio e improprio di rette. In A_3(K): mutua posizione di due piani, condizione di parallelismo, fascio proprio e improprio di piani. Esempi.
Lezione 37 (asincrona). In A_3(K): mutua posizione di una retta ed un piano, condizione di parallelismo. Stella propria e impropria di piani di A_3(K). Esempi.
Lezione 38 (asincrona). In A_3(K): mutua posizione di due rette, condizione di complanarità, condizione di parallelismo, stella propria e impropria di piani.
Lezione 39 (asincrona). Definizione di segmento di estremi A e B, punto medio. Simmetria centrale ed assiale. Esempi. Cambiamento di riferimento affine.
Lezione 40 (asincrona). Spazi euclidei di dimensione n sul campo reale. Ortogonalità di sottospazi lineari.
06.11.2020, 10.30 – 11.30 (sincrona). Correzione del test di autovalutazione.
Settimana 09-13.11.2020.
Lezione 41 (asincrona). Geometria analitica in E_n: ortogonalità tra rette in E_n. Ortogonalità tra due piani in E_3. Ortogonalità retta-piano in E_3. Esercizi.
Lezione 42 (asincrona). Distanza tra punti, rette e piani. Proiezione ortogonale. Iperpiani assiali. Ipersfera. Circonferenze e sfere. Esercizi.
Lezione 43 (asincrona). Ampliamento del piano affine, coordinate omogenee. Equazione cartesiana di una retta in coordinate omogenee. Condizione di allineamento di 3 punti. Equazioni parametriche di una retta in coordinate omogenee. Esercizi.
Lezione 44 (asincrona). Piano affine reale e complesso ampliato. Punti e rette reali e immaginarie. Proprietà delle rette reali. Esercizi.
Lezione 45 (asincrona). Curve algebriche. Ordine. Passaggio da coordinate omogenee a coordinte affini. Riducibilità. Proprietà delle curve algebriche reali. Esercizi.
Settimana 15-20.11.2020.
Lezione 46 (asincrona). Molteplicità di intersezione tra retta e curva nel punto P. Teorema dell’ordine. Definizione di punto multiplo e condizione analitica. Punti (n+1)-upli e n-upli di una curva di ordine n. Punti multipli: sistema delle derivate parziali. Esercizi.
Lezione 47 (asincrona). Definizione di conica. Coniche riducibili. Punti doppi e tripli. Classificazione proiettiva e condizioni analitiche. Esercizi.
Lezione 48 (asincrona). Classificazione affine e condizioni analitiche. Esercizi.
Lezione 49 (asincrona). Polarità. Teorema di Reciprocità. Centro e diametri. Esercizi.
Lezione 50 (asincrona). Asintoti e condizioni analitiche. Assi e vertici di una conica a centro. Esercizi.
Settimana 22-27.11.2020.
Lezione 51 (asincrona). Riepilogo. Asse e vertice di una parabola. Esercizi. Spazio affine ampliato e complessificato. Esercizi.
Lezione 52 (asincrona). Equazioni canoniche di una conica. Formule del cambio di riferimento. Esercizi.
Lezione 53 (asincrona). Spazio affine tridimensionale ampliato. Esercizi.
Lezione 54 (asincrona). Spazio affine tridimensionale reale e complesso ampliato. Esercizi.
Lezione 55 (asincrona). Superfici algebriche reali: I e II Teorema dell’ordine. Punti multipli: sistema delle derivate parziali. Esercizi.
Settimana 30.11–04.12.2020.
Lezione 56 (asincrona). Definizione di quadrica. Coni e cilindri. Esercizi.
Lezione 57 (asincrona). Quadriche riducibili. Teorema sui punti doppi di una quadrica. Esercizi.
Lezione 58 (asincrona). Classificazione proiettiva delle quadriche. Classificazione affine di coni e cilindri. Sezioni piane riducibili. Classificazione affine di coni e cilindri. Esercizi.
Lezione 59 (asincrona). Classificazione affine delle quadriche generali. Punti semplici iperbolici, parabolici ed ellittici. Teoremi sulla natura dei punti semplici di una quadrica irriducibile. Esercizi.
Lezione 60 (asincrona). Sezioni piane di coni, cilindri e di una quadrica generale. Condizioni analitiche per lo studio di una quadrica. Esercizi.