Ingegneria dell’Automazione Industriale
16.09.2019, 14.30 – 16.30, N3. Insiemi. Operazioni tra insiemi. Prodotto cartesiano. Corrispondenze. Applicazioni: iniettiva, suriettiva e biiettiva.
17.09.2019, 10.30 – 11.30, M1. Composizioni di applicazioni. Applicazione inversa. Relazioni su un insieme: relazioni d’ordine.
18.09.2019, 16:30 – 18.30, N9. Esercitazione. Definizione di matrice. Operazioni tra matrici. Trasposta di una matrice.
19.09.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Relazioni di equivalenza. Operazioni su un insieme. Strutture algebriche: gruppi, anelli e campi. Definizione di spazio vettoriale.
20.09.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione. Determinante di una matrice. Matrici invertibili.
23.09.2019, 14.30 – 16.30, N3. Esempi di spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali e criterio per stabilire quando un sottoinsieme è un sottospazio. Esercizi sui sottospazi. Combinazioni lineari. Vettori linearmente dipendenti e indipendenti, ed esempi. Famiglie di vettori libere e legate, ed esempi. Chiusura lineare di una famiglia di vettori, ed esempi.
24.09.2019, 10.30 – 11.30, M1. La chiusura lineare L(A) di una famiglia A di vettori è un sottospazio. L(A) è il più piccolo sottospazio contenente A: spazio generato da A. Spazi finitament generati ed esempi classici. Lo spazio dei polinomi come esempio di spazio privo di una famiglia finita di generatori.
25.09.2019, 16:30 – 18.30, N9. Esercitazione. Combinazioni lineari, sottospazi e chiusura lineare
26.09.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Riconoscere quando una famiglia di vettori è legata (o libera): proprietà delle famiglie libere e legate. Definizione di base di uno spazio vettoriale finitamente generato (F.G.). Ogni spazio vettoriale F.G. possiede una base. Basi naturali (canoniche o standard) di K^n e K^{m,n}.
27.09.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione. Chiusura lineare e sistemi di generatori.
30.09.2019, 14.30 – 16.30, N3. Caratterizzazione delle basi “ordinate”. Definizione di componenti o coordinate rispetto ad una base ordinata. Coordinate rispetto alle basi naturali di K^n e K^{m,n}. Teorema dello scambio (o di Steinitz). Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale V finitamente generato (dim V). Conseguenze del teorema dello scambio. Interpretazione di dim V come numero minimo di generatori o numero massimo di vettori L.I. Teorema del completamento della base.
01.10.2019, 10.30 – 11.30, M1. Dimostrazione del Teorema dello scambio. Dimostrazioni dei seguenti risultati: a) Se dimV=n ed G è una famiglia di generatori di V costituita da n vettori, allora G è una base; b) Se dimV=n ed L è una famiglia libera di n vettori di V, allora L è una base. Esercizio sul completamento di una famiglia libera per formare una base.
02.10.2019, 16:30 – 18.30, N9. Esercitazione. Basi e componenti/coordinate rispetto a una base.
03.10.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Struttura dei sottospazi di uno spazio vettoriale finitamente generato. Esempio: Lo spazio V_2 dei vettori del piano applicati in O ha dimensione 2. L’intersezione di due sottospazi è un sottospazio. La somma di due sottospazi è un sottospazio. Interpretazione della somma di sottospazi come sottospazio minimo contenente l’unione. Somma diretta e sua caratterizzazione. Formula di Grassmann.
04.10.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione. Rango di una matrice. Teorema degli orlati.
07.10.2019, 14.30 – 16.30, N3. Come determinare una base di U+W. Definizione di complemento diretto e metodo per determinarne uno con esempio. Riepilogo dei concetti di minore e rango di una matrice. Caratterizzazione delle famiglie libere col concetto di rango ed esempi. Proprietà del rango. Spazio delle righe e delle colonne di una matrice A.
08.10.2019, 10.30 – 11.30, M1. Teorema di Kronecker*. Interpretazione del concetto di rango. Relazione tra rango, determinante e invertibilità di una matrice n x n. Teorema degli orlati*. Esercizio riepilogativo. Definizione di sistema lineare (SL). Scritture equivalenti. Matrici associate ad un SL. Definizione di compatibilita di un SL.
09.10.2019, 16:30 – 18.30, N9. Teorema di Rouché-Capelli*. Teorema di Cramer. I metodo per risolvere un sistema lineare generale. Relazione tra l’insieme delle soluzioni di AX=B e lo spazio delle soluzioni di AX=0.
10.10.2019, 08.30 – 09.30, MTB. Riduzione a scala per 1) il calcolo del rango di una matrice, 2) per risolvere un sistema lineare.
11.10.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione. Somma e intersezione di sottospazi.
14.10.2019, 14.30 – 16.30, N3. Esercitazione. Complemento diretto e sistemi lineari.
15.10.2019, 10.30 – 11.30, M1. Cambiamenti di base. Numeri Complessi I.
15.10.2019, 12.30 – 13.30, N2. Numeri Complessi II. Teorema fondamentale dell’Algebra.
16.10.2019, 16:30 – 18.30, N9. Esercitazione. Sistemi lineari.
17.10.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Diagonalizzabilità di una matrice quadrata, applicazione al calcolo delle potenze, e I teorema di diagonalizzabilità.
18.10.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione. Cambiamento di base. Autovalori, autospazi, molteplicità algebrica e geometrica.
21.10.2019, 14.30 – 16.30, N3. II teorema di diagonalizzabilità. II teorema di diagonalizzabilità. Forme bilineari e prodotti scalari. Relazione di ortogonalità tra vettori. Ortogonale di un insieme e sue proprietà. Prodotti scalari definiti positivi e spazi euclidei. Proiezione e coefficiente di Fourier.
22.10.2019, 12.30 – 14.30, N2. Teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt, conseguenze ed esempi. Complemento ortogonale e sue proprietà. Applicazione allo spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo. Norma di un vettore e proprietà. Basi ortonormali. Definizione e relazione tra matrici associate ad una stessa forma bilineare.
23.10.2019, 16:30 – 18.30, N9. Esercitazione. Diagonalizzazione, complemento ortogonale e ortogonalizzazione di una base.
24.10.2019, 08.30 – 09.30, N1. Matrici ortogonali e matrici del cambiamento di base ortonormale. Proprietà delle matrici ortogonali. Matrici ortodiagonalizzabili e loro caratterizzazione (teorema della base spettrale). Autovettori di una relativi ad autovalori distinti di una matrice reale simmetrica sono tra loro ortogonali.
25.10.2019, 14:30 – 16.30, Aula Magna. Esercizi di riepilogo.
28.09.2019, 14.30 – 16.30, N3. Esercitazione
30.10.2019. I Test intermedio
04.11.2019, 14.30 – 16.30, N3. Spazi affini: definizioni e proprietà. Sottospazi lineari e loro proprietà. Punti, rette e piani come sottospazi lineari. Parallelismo di sottospazi lineari. Proprietà degli spazi affini analoghe a quelle della geometria classica. Mutua posizione di rette e piani.
05.11.2019, 10.30 – 11.30, M1. Rette sghembe. Riferimento affine, coordinate di un punto e del vettore PQ e coordinate del vettore PQ.
07.11.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Equazioni parametriche e cartesiane di rette, piani e iperpiani. Esempi.
07.11.2019, 12.30 – 13.30, M1. In A_2(K): mutua posizione di due rette, condizione di parallelismo, fascio proprio e improprio di rette. In A_3(K): mutua posizione di due piani, condizione di parallelismo, fascio proprio e improprio di piani. Esempi.
08.11.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione.
11.11.2019, 14.30 – 16.30, N3. Esercitazione.
12.11.2019, 10.30 – 11.30, M1. In A_3(K): mutua posizione di una retta ed un piano, condizione di parallelismo. Stella propria e impropria di piani di A_3(K). Esempi.
12.11.2019, 12.30 – 13.30, N2. In A_3(K): mutua posizione di due rette, condizione di complanarità, condizione di parallelismo, stella propria e impropria di piani.
13.11.2019, 16:30 – 11.30, N9. Esercitazione.
14.11.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Definizione di segmento di estremi A e B, punto medio. Simmetria centrale ed assiale. Esempi. Spazi euclidei di dimensione n sul campo reale. Ortogonalità di sottospazi lineari. Geometria analitica in E_n: ortogonalità tra rette in E_n.
15.11.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione.
18.11.2019, 14.30 – 16.30, N3. Ortogonalità tra due piani in E_3. Ortogonalità retta-piano in E_3. Distanza tra punti, rette e piani.
19.11.2019, 10.30 – 11.30, M1. Ipersfera. Circonferenze e sfere.
20.11.2019, 16:30 – 11.30, N2. Esercitazione.
21.11.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Ampliamento del piano affine reale e coordinate omogenee. Equazione cartesiana di una retta in coordinate omogenee. Condizione di allineamento di 3 punti. Equazioni parametriche di una retta in coordinate omogenee. Esercizi.
22.11.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Complessificazione del piano affine reale (ampliato). Punti e rette reali e immaginarie. Proprietà delle rette reali. Curve algebriche reali. Molteplicità di intersezione tra retta e curva in P. Teorema dell’ordine.
25.11.2019, 14.30 – 16.30, N3. Esercitazione.
26.11.2019, 10.30 – 11.30, M1. Definizione di punto multiplo e condizione analitica. Punti (n+1)-upli e n-upli di una curva di ordine n. Punti multipli: sistema delle derivate parziali.
27.11.2019, 16:30 – 11.30, N2. Esercitazione.
28.11.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Definizione di conica. Coniche riducibili. Punti doppi e tripli. Classificazione proiettiva, affine e condizioni analitiche.
29.11.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione.
02.12.2019, 14.30 – 16.30, N3. Coniche: classificazione affine e condizioni analitiche. Polarità. Teorema di Reciprocità. Centro e diametri.
03.12.2019, 10.30 – 11.30, M1. Asintoti e condizioni analitiche. Assi e vertici di una conica a centro.
04.12.2019, 16:30 – 11.30, N2. Esercitazione.
05.12.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Asse e vertice di una parabola. Equazioni canoniche di una conica. Formule del cambio di riferimento. Spazio affine ampliato e complessificato.
06.12.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Proprietà di rette e piani reali. Rette di prima e seconda specie. Superfici algebriche reali: I e II Teorema dell’ordine. Punti multipli: sistema delle derivate parziali. Definizione di quadrica. Quadriche riducibili. Coni e cilindri.
09.12.2019, 14.30 – 16.30, N3. Esercitazione.
10.12.2019, 09.30 – 10.30, N2. Teorema sui punti doppi di una quadrica.
10.12.2019, 10.30 – 11.30, M1. Classificazione proiettiva delle quadriche. Sezioni piane riducibili. Classificazione affine di coni e cilindri. Sezioni piane di coni e cilindri.
11.12.2019, 16:30 – 11.30, N2. Esercitazione.
12.12.2019, 08.30 – 10.30, MTB. Classificazione affine delle quadriche generali. Punti semplici iperbolici, parabolici ed ellittici. Teoremi sulla natura dei punti semplici di una quadrica irriducibile. Sezioni piane di coni e cilindri una quadrica generale. Condizioni analitiche per lo studio di una quadrica. Esercizi
13.12.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione.
18.12.2019, 16:30 – 11.30, N2. Esercitazione.
20.12.2019, 14:30 – 16.30, MTA. Esercitazione.